PERKALIAN DUA MATRIKS

Perkalian Matriks berordo m x n terhadap matriks Berordo n x 1 

Untuk memahami perkalian matriks berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x 1, simaklah masalah yang sering dihadapi dalamkehidupan sehari-hari sebagai berikut K etika jam istirahat, Ali dan Badu membeli makanan di kantin sekolahnya. Ali membeli 4 buah kue dan 2 buah es krim, sedangkan Badu membeli 3 buah kue dan sebuah es krim. Harga per buah untuk kue dan es krimmasing-masing Rp1 000,00 dan Rp2.500,00. Data atau informasi tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel sebagaimana diperlihatkan dalam tabel a dan tabel b berikutini.
 
Masalahnya adalah,berapa jumlah uang yang harus dibayar oleh Ali dan berapa jumlah uang yang harus dibayar oleh Badu. Jumlah uang yang harus dibayar oleh Ali adalah 4 x 1.000 + 2 x 2.500 = 9.000. Perhitungan ini dapat dinyatakan dalambentuk matriks dengan memperhatikan dua informasi berikut: - 

• Informasi tentang jenis dan jumlah makanan yang dibeli oleh (berdasarkan tabel a). ditulis dalambentuk matriks baris sebagai berikut: (4 2 )
• Informasi tentang harga makanan (berdasarkan tabel b) dapat dituliskan dalambentuk matriks kolomsebagai berikut:      

 Sekarang uang yang harus dibanyar oleh Ali dapa dituliskan dalambentuk matriks sebagai berikut:

 Bagian ruas kiri yang berbentuk ( 4 2 ) . dinamakan sebagai perkalian matriks, yaituperkalian matriks baris ( 4 2 ) yang berordo 1 x 2 terhadap matriks kolom yang berordo 2 x 1.Bagian ruas kanan yang berbentuk (4 x 1.000+ 2 x 2.500) ditetapkan sebagai hasil perkalian matriks (4 2) terhadap matriks   .

Jika diperhatikan, perhitungan perkalian matriks di atas dapat ditentukan melalui algoritma (perhitungan langkah demi langkah) sebagai berikut: 

1.  Tentukan hasil kali elemen kolompertama dari matriks baris terhadap elemen baris pertama dari matriks kolom, yaitu 4 x 1.000. 
2. Tetukan hasil kali elemen kolomkedua dari matriks baris terhadap elemen baris kedua dari matriks kolom, yaitu 2 x 2.500 
3. Kemudian jumlahkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah a dan langkah b di atas sehingga diperoleh (4 x 1.000+ 2 x 2.500)

Dengan menggunakan cara perhitungan yang sama seperti di atas, maka jumlah uang dibayar oleh Badu dapat dinyatakan dalambentuk perkalian matriks sebagai berikut



Akhirnya, jumlah uang yang harus dibayar oleh Ali dan jumlah uang yang harus dibayar oleh Badu secara serentak dapat dinyatakan dalambentuk perkalian matriks sebagai berikut :





Berdasarkan paparan di atas, sekarang akan dibahas secara umumdua macamperkalian matriks, yaitu : 
(1) Perkalian matriks berordo 1 x n terhadap matriks berordo n x 1 
(2) Perkalian matriks berordo mx n terhadap matriks berordo n x 1 

A.    Perkalian Matriks berordo 1 x n terhadap matriks berordo n x 1 Perhatikan kembali perkalian matriks : (4 2) .   = (4 x 1.000+ 2 x 2.500)

Misalkan bahwa matriks baris A = (4 2) dan matriks kolom B = , sehingga perkalian matriks di atas dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks baris A terhadap matriks kolomB sebagai berikut :

 

Perkalian matriks baris A yang berordo 1 x 2 terhadap matriks kolomB yang berordo 2 x 1 adalah suatu matriks 1 x 1, yaitu sebuah skalar yang nilainya sama dengan 9.000. 

Uraian di atas mengarah pada definisi perkalian matriks baris berordo 1 x n terhadap matriks kolomberordo n x 1 sebagai berikut : Definisi : Perkalia matriks Berordo 1 x n terhadap matriks berordo n x 1




Perkalian matriks baris berordo 1 x n terhadap matriks kolomberordo n x 1 menghasikan suatu matriks berordo 1 x 1. Ordo 1 x 1 ini diperoleh dengan cara merangkaikan 1 x n dengan n x 1 dalambentuk 1 x n ↔ n x 1, kemudian bagian x n ↔ n dihilangkan sehingga bentuk nya menjadi 1 x 1. Selain itu banyak kolommatriks A adalah n dan banyak baris matriks B juga n. Ini berartimabanyak kolommatriks A sama dengan banyak baris matriks B. Matriks A dan matriks B yang berciri demikian dikatakan dua matriks yang sepadan untuk dikalikan. Sebaliknya jika banyak kolommatriks A tidak sama dengan banyak baris matriks B, maka dua matriks itu tidak sepadan untuk dikalikan. Sehingga perkalian matriks A terhadap matriks B atau AB tidak ada atau tidak didefinisikan.





B.  Perkalian Matriks Berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x 1 Cara menentukan hasil perkalian matriks mx n terhadap matriks n x 1 dapat dijelaskan dengan meninjau perkalian matriks berikut.



Misalkan bahwa matriks A = dan B = , sehingga perkalian matriks di atas merupakan perkalian matriks Aterhadap matriks B dan ditulis sebagai :

Perkalian matriks A yang berordo 2 x 2 terhadap matriks B yang berordo 2 x 1menghasilkan matriks kolomyang berordo 2 x 2 ↔ 2 x 1 atau 2 x 2, yaitu matriks kolom


Berdasarkan uraian tersebut. Perkalian matriks berordo mx n terhadap matriks berordo n x 1 dapat didefinisikan sebagai berikut :



Beberapa hal yang perlu dijelaskan dalamdefinisi perkalian matriks di atas. 

• Perkalian matriks berordo mx n terhadap matriks berordo n x 1 menghasilkan matriks berordo mx 1. Y aitu sebuah matriks kolomyang berordo mx n. 
• Matriks A berordo mx n dan matriks B berordo n x 1. Ini berarti banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B atau matriks A sepadan matriks B, sehingga perkalian matriks AB ada hasil nya atau terdefinisi. Dalamhal banyak nya kolommatrks A tidak sama dengan banyak nya baris matriks B atau matriks A tidak sepadan dengan matriks B, maka perkalian AB tidak ada hasil nya atau tidak terdefinisi.  
• Hasil perkalian matriks A berordo mx n terhadap matriks B berordo n x 1 yang sepadan diperoleh dengan cara mengalikan masing-masing baris dari matriks A terhadap kolomdari matriks B. Proses pengerjaan perkalian baris semacamitu dikenal sebagai proses pengerjaan baris pada kolom.